Question

已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，直线BD与平面A₁BC₁所成角的余弦值为

 

．

Answer 1

分析：由已知中棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，我们以A点为坐标原点，以AB，AD，AA₁方向为X、Y、Z轴正方向建立空间坐标系，分别求出直线BD的方向向量及平面A₁BC₁的法向量，代入向量夹角公式即可求出直线BD与平面A₁BC₁所成角的余弦值．

解答：解：以A点为坐标原点，以AB，AD，AA₁方向为X、Y、Z轴正方向建立空间坐标系，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1
∴

BD

=（-1，1，0），平面A₁BC₁的一个法向量为

B1D

=（-1，1，-1）
∵cos＜

BD

，

B1D

＞=

BD • B1D

| BD |•| B1D |

=

6

3

设直线BD与平面A₁BC₁所成角为θ，
则cosθ=sin＜

BD

，

B1D

＞=

3

3

故答案为：

3

3

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中根据已知条件，建立空间坐标系，将线面夹角问题转化为向量的夹角问题，是解答本题的关键．