Question

已知函数f（x）=．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明；
（2）求f（x）的定义域、值域．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=．
∴f'（x）=1-．
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0恒成立
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0恒成立
故函数f（x）在（0，1]单调递减，在区间[1，+∞）上的单调递增；
（2）要使函数的解析式有意义，自变量x须满足x≠0
故函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
当x∈（0，+∞）时，由（1）知函数有最小值2
又∵函数为奇函数，
∴当x∈（-∞，0）时，函数有最大值2
综上函数的值域为：（-∞，-2）∪（2，+∞）
分析：（1）由原函数的解析式，我们易求出函数的导函数，令导函数等0，我们易出函数的极值点，将区间分割后，分别讨论各子区间上导函数的符号，即可判断函数的单调性；
（2）让函数的解析式有意义，可以求出函数的定义域；根据（1）的结论，先求出f（x）在（0，+∞）上的值域，再根据函数的奇偶性，易得到f（x）的值域．
点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数的定义域及其求法，函数的值域，利用导数求函数的单调性是导数应用的重要类型，望大家熟练掌握．