Question

已知过点（0，2）的直线与抛物线y²=4x交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），计算

1

y1

+

1

y2

的值，由此归纳一条与抛物线有关的性质，使得上述计算结果是性质的一个特例：

根据回答的层次给分
过（0，2）的直线与抛物线y²=4x交与不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

1

y1

+

1

y2

=

1

2

；
过（0，2）的直线与抛物线y²=2px（p＞0）交与不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

1

y1

+

1

y2

=

1

2

；
过（0，b）（b≠0）的直线与抛物线y²=mx（m≠0）交与不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

1

y1

+

1

y2

=

1

2

．

（根据回答的层次给分）

Answer 1

分析：过（0，2）的直线与抛物线y²=4x交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可令直线方程为y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系易得

1

y1

+

1

y2

=

1

2

；然后根据归纳推理的办法，由此推断出过（0，2）的直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）时，满足的性质，及过（0，b）的直线与抛物线y²=mx（m≠0）交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）时，满足的性质．

解答：解：若过（0，2）的直线斜率不存在或k=0，则直线与抛物线只有一个交点不满足要求；
若过（0，2）的直线斜率存在且不为0，则可设y=kx+2
又因为A，B两点是直线与抛物线y²=4x的交点，则

y=kx+2 y2=4x

即 y2-

4

k

y+

8

k

=0
∴y1+y2=

4

k

，且 y1•y2=

8

k

∴

1

y1

+

1

y2

=

1

2

因为A，B两点是直线与抛物线y²=2px（p＞0）的交点，则

y=kx+2 y2=2px

即 y2-

2p

k

y+

4p

k

=0
∴y1+y2=

2p

k

，且 y1•y2=

4P

k

∴

1

y1

+

1

y2

=

1

2

．
由此归纳推断：过（0，b）的直线与抛物线y²=mx（m≠0）交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

1

y1

+

1

y2

=

1

b

．
故答案为：过（0，2）的直线与抛物线y²=4x交与不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

1

y1

+

1

y2

=

1

2

（1分）
过（0，2）的直线与抛物线y²=2px（p＞0）交与不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

1

y1

+

1

y2

=

1

2

（1分）
过（0，b）（b≠0）的直线与抛物线y²=mx（m≠0）交与不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

1

y1

+

1

y2

=

1

b

（1分）

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质、归纳推理．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．