Question

（2010•桂林二模）已知函数f（x）=ax³-12x²+9x+2，若f（x）在x=1处的切线斜率为-3
（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，2]都有f（t）≥t²-2t-1成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导数f′（x）＜0，以及导数的几何意义知在x=1处的导数等于切线的斜率，切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式．再根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间．
（Ⅱ）先由（Ⅰ）可f（x）的极大值，从而可求得f（x）[0，2]上的最小值2，f（x）≥t²-2t-1在x∈[0，2]上恒成立，等价于t²-2t-1≤2，即可求得t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）求导函数f′（x）=3ax²-24x+9
∵f（x）在x=1处的切线斜率为-3
∴f′（1）=2a-24+9=-3，∴a=4
∴f（x）=4x³-12x²+9x+2
∴f′（x）=12x²-24x+93（2x-3）（2x-1），
令f′（x）＞0得x＞

3

2

或x＜

1

2

；f′（x）＜0得

1

2

＜x＜

3

2

，
∴f（x）的单调增区间（

3

2

，+∞），（-∞，

1

2

），
f（x）的单调减区间（

1

2

，

3

2

）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可f（x）的极大值f（

3

2

）=2，
∵f（0）=2，f（2）=4，f(

1

2

)=4
∴f（x）[0，2]上的最小值2，
f（x）≥t²-2t-1在x∈[0，2]上恒成立，等价于t²-2t-1≤2，
∴t²-2t-3≤0，
解得-1≤t≤3．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数在最大值、最小值问题中的应用等基础题知识，考查学生利用导数研究函数单调性的能力．利用导数研究函数极值的能力，函数恒成立的条件．