Question

已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为2，右焦点为F，右准线l与x轴相交于点E，

FE

=

OF

，过点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C和点D在l上，且AD∥BC∥x轴．
（I）求椭圆的方程及离心率；
（II）当|BC|=

1

3

|AD|时，求直线AB的方程；
（III）求证：直线AC经过线段EF的中点．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的标准方程，根据短轴长求得b，进而根据

FE

=

OF

联立方程组，求得a和c，则椭圆的方程和离心率可得．
（2）求得点P的坐标，设直线AB的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根据一元二次方程求得x₁和x₂的表达式，根据AD∥BC∥x轴，且|BC|=

1

3

|AD|，可知

a2

c

-x2=

1

3

(

a2

c

-x1)求得k，则直线AB的方程可得．
（3）根据F和E的坐标，求得N的坐标，当AB⊥x轴时A，B，C的坐标可知，进而求得AC中点的坐标，判断出AC经过线段EF的中点N；当AB不垂直x轴时，则直线AB斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-1），分别表示出AN和CN的斜率，进而表示出两斜率之差求得结果为0，可知k₁=k₂且AN，CN有公共点N，进而可知A，C，N三点共线．推断出直线AC经过线段EF的中点N．最后综合可得结论．

解答：解：（I）设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0).
由2b=2得b=1．
又

FE

=

OF

，∴

a2-c2=1 c= a2 c -c.

解得a=

2

，c=1．
∴椭圆方程为：

x2

2

+y2=1．
离心率e=

c

a

=

2

2

．
（II）由（I）知点F坐标为（1，0），又直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，
则AB的方程为y=k（x-1）．
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是（*）方程两根，且x₁＜x₂，
∴x1=

2k2- 2k2+2

1+2k2

，x2=

2k2+ 2k2+2

1+2k2

．
∵AD∥BC∥x轴，且|BC|=

1

3

|AD|，
∴

a2

c

-x2=

1

3

(

a2

c

-x1)即2-

2k2+ 2k2+2

1+2k2

=

1

3

(2-

2k2- 2k2+2

1+2k2

)，解得k=±1．
∴直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．
（III）∵点F（1，0），E（2，0），∴EF中点N的坐标为(

3

2

，0)．
①当AB⊥x轴时，A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁），
那么此时AC的中点为(

3

2

，0)，即AC经过线段EF的中点N．
2当AB不垂直x轴时，则直线AB斜率存在，
设直线AB的方程为y=k（x-1），
由（*）式得x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．
又∵x₁²=2-2y₁²＜2，得x1-

3

2

≠0，
故直线AN，CN的斜率分别为k1=

y1

x1- 3 2

=

2k(x1-1)

2x1-3

，k2=

y2

2- 3 2

=2k(x2-1)，
∴k1-k2=2k•

(x1-1)-(x2-1)(2x1-3)

2x1-3

．
又∵（x₁-1）-（x₂-1）（2x₁-3）=3（x₁+x₂）-2x₁x₂-4，
=

1

1+2k2

[12k2-4(k2-1)-4(1+2k2)]=0．
∴k₁-k₂=0，即k₁=k₂．
且AN，CN有公共点N，∴A，C，N三点共线．
∴直线AC经过线段EF的中点N．
综上所述，直线AC经过线段EF的中点．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程．涉及了直线与椭圆的关系，在设直线方程的时候，一定要考虑斜率不存在时的情况，以免答案不全面．