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已知椭圆的中心是坐标原点O,它的短轴长为2,右焦点为F,直线l:x=2与x轴相交于点E,
FE
=
OF
,过点F的直线与椭圆相交于A,B两点,点C和点D在l上,且AD∥BC∥x轴.
(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;
(Ⅱ)求证:直线AC经过线段EF的中点.
分析:(I)设出椭圆的标准方程,根据短轴长求得b,进而根据
FE
=
OF
联立方程组,求得a和c,则椭圆的方程和离心率可得.
(II)根据F和E的坐标,求得N的坐标,当AB⊥x轴时A,B,C的坐标可知,进而求得AC中点的坐标,判断出AC经过线段EF的中点N;当AB不垂直x轴时,则直线AB斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-1),分别表示出AN和CN的斜率,进而表示出两斜率之差求得结果为0,可知k1=k2且AN,CN有公共点N,进而可知A,C,N三点共线.推断出直线AC经过线段EF的中点N.最后综合可得结论.
解答:解:(I)设椭圆方程为:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

由2b=2得b=1.
FE
=
OF
,∴
a2-c2=1
c=
a2
c
-c.
解得 a=
2
,c=1

∴椭圆方程为:
x2
2
+y2=1

离心率 e=
c
a
=
2
2

(II)∵点F(1,0),E(2,0),∴EF中点N的坐标为 (
3
2
,0)

①当AB⊥x轴时,A(1,y1),B(1,-y1),C(2,-y1),
那么此时AC的中点为 (
3
2
,0)
,即AC经过线段EF的中点N.
2当AB不垂直x轴时,则直线AB斜率存在,
设直线AB的方程为y=k(x-1),
由(*)式得 x1+x2=
4k2
1+2k2
x1x2=
2k2-2
1+2k2

又∵x12=2-2y12<2,得 x1-
3
2
≠0

故直线AN,CN的斜率分别为 k1=
y1
x1-
3
2
=
2k(x1-1)
2x1-3
k2=
y2
2-
3
2
=2k(x2-1)

k1-k2=2k•
(x1-1)-(x2-1)(2x1-3)
2x1-3

又∵(x1-1)-(x2-1)(2x1-3)=3(x1+x2)-2x1x2-4,
=
1
1+2k2
[12k2-4(k2-1)-4(1+2k2)]=0

∴k1-k2=0,即k1=k2
且AN,CN有公共点N,∴A,C,N三点共线.
∴直线AC经过线段EF的中点N.
综上所述,直线AC经过线段EF的中点.
点评:本题主要考查了椭圆的标准方程.涉及了直线与椭圆的关系,在设直线方程的时候,一定要考虑斜率不存在时的情况,以免答案不全面.
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已知椭圆的中心是坐标原点O,它的短轴长为2,右焦点为F,右准线l与x轴相交于点E,
FE
=
OF
,过点F的直线与椭圆相交于A,B两点,点C和点D在l上,且AD∥BC∥x轴.
(I)求椭圆的方程及离心率;
(II)当|BC|=
1
3
|AD|
时,求直线AB的方程;
(III)求证:直线AC经过线段EF的中点.

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2
2
,又椭圆上任一点到两焦点的距离和为2
2
,过点M(0,-
1
3
)与x轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点.
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