Question

如图，直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=

3

2

，BC=

1

2

．椭圆G以A、B为焦点且经过点D．
（Ⅰ）建立适当坐标系，求椭圆G的方程；
（Ⅱ）若点E满足

EC

=

1

2

AB

，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆G交于M、N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l与AB夹角正切值的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，进而可知A，B的坐标，设椭圆的标准方程，根据AB的距离求得c，把x=c代入椭圆方程，求得

b2

a

=

3

2

，进而根据a，b和c的关系求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）设出直线l的方程，代入椭圆方程消去y，根据判别式得出k和m的不等式关系，设M，N和MN中点的坐标，进而根据韦达定理得出x₀和y₀的表达式，进而根据|ME|=|NE|，可推断出MN⊥EF，进而表示出两直线的斜率使其乘积等于-1求得m和k的关系，进而根据m和k的不等式关系确定k的范围．

解答：解：（Ⅰ）如图，以AB所在直线为x轴，
AB中垂线为y轴建立直角坐标系，?A（-1，0），B（1，0）．
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1．
令x=c?y0=

b2

a

，
∴

C=1 b2 a = 3 2

?

a=2 b= 3

．
∴椭圆C的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）

EC

=

1

2

AB

?E(0，

1

2

)，l⊥AB时不符；
设l：y=kx+m（k≠0），
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

?(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0．
M、N存在??△＞0?64k²m²-4（3+4k²）•（4m²-12）＞0?4k²+3≥m²．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点F（x₀，y₀）
∴x0=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，
y0=kx0+m=

3m

3+4k2

．
|ME|=|NE|?MN⊥EF?

y0- 1 2

x0

=-

1

k

?

3m 3+4k2 - 1 2

- 4km 3+4k2

=-

1

k

?m=-

3+4k2

2

，
∴4k2+3≥(-

3+4k2

2

)2，∴4k²+3≤4，
∴0＜k²≤1，∴-1≤k≤1且k≠0．
∴l与AB的夹角的范围是（0，

π

4

]．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系．考查了学生转化和化归的数学思想，基本的运算能力．