Question

已知函数f(x)＝2n在[0，＋∞)上最小值是a_n(n∈N*)．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)已知数列{b_n}中，对任意n∈N*都有b_na＝1成立，设S_n为数列{b_n}的前n项和，证明：2S_n＜1；

(3)在点列A_n(2n，a_n)中是否存在两点A_i，A_j(i，j∈N*)，使直线A_iA_j的斜率为1？若存在，求出所有的数对(i，j)；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由f(x)＝2n得(x)＝，f(0)＝2n． 　　令(x)＝0得x＝， 　　当x∈(0，)时，(x)＜0， 　　当x∈(，＋∞)时，(x)＞0， 　　∴f(x)在(0，＋∞)上，f()＝， 　　当x＝时取得最小值．∴an＝． 　　(2)证明：∵bna＝1，∴bn＝． 　　∵＝， 　　∴Sn＝． 　　∴2Sn＜1． 　　(3)不存在，假设存在两点Ai，Aj满足题意，即＝1， 　　令x＝2n，y＝an，则y＝(x≥2)点(x，y)在曲线x2－y2＝1(x≥2，y≥1)上，而双曲线的一条渐近线方程为y＝x，其斜率为1，Ai，Aj在双曲线上，故＜1矛盾． 　　另解：不存在，设Ai(2i，ai)，Aj(2j，aj)，(其中i，j∈N*)， 　　则＝ 　　＝＝1，故不存在．