Question

已知向量

a

=（

3

sinωx，cosωx），

b

=（cosωx，3cosωx），ω＞0，设f（x）=

a

•

b

，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）函数f（x）的图象可由函数y=sin2x经过怎样的变换得到．

Answer 1

分析：（1）根据两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，根据周期为π，利用周期公式即可求出ω的值；
（2）根据正弦函数的递增区间求出x的范围，即可确定出f（x）的递增区间；
（3）利用图象平移及变换规律即可得到结果．

解答：解：（1）∵向量

a

=（

3

sinωx，cosωx），

b

=（cosωx，3cosωx），ω＞0，
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sinωxcosωx+3cos²ωx=

3

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx+

3

2

=

3

sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

，
∵T=

2π

|2ω|

=π，ω＞0，∴ω=1；
（2）f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z；
（3）f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）+

3

2

的图象由y=sin2x向右平移

π

6

个单位，y的值伸长

3

倍，再向上平移

3

2

个单位得到．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式是解本题的关键．