Question

已知向量

a

=（

3

sinωx，cosωx），

b

=（ cosωx，cosωx），其中ω＞0，记函数f（x）=

a

•

b

-

1

2

已知f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω；
（2）求f（x）的单调区间；对称轴方程；对称中心坐标；
（3）当0＜x≤

π

3

时，试求f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=

a

•

b

-

1

2

转化为sin（2ωx+

π

6

），利用周期公式求得ω；
（2）根据正弦函数的单调性、对称轴方程和对称中心回答即可；
（3）由（1）得f（x）=sin（2x+

π

6

），由0＜x≤

π

3

得出

π

6

＜2x+

π

6

≤

5π

6

，再利用整体思想求解．

解答：解：（1）f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1

2

（1+cos2ωx）-

1

2

=sin（2ωx+

π

6

）
∵ω＞0，T=π
∴ω=1
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

∴f（x）单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

∴f（x）单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈z即为函数的对称轴方程；
令2x+

π

6

=kπ，解得x=

kπ

2

-

π

12

，对称中心的坐标是（

kπ

2

-

π

12

，0），k∈Z
（3）由（1），得f（x）=sin（2x+

π

6

）
∴0＜x≤

π

3

，∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

5π

6

∴f（x）∈[

1

2

，1]
∴f（x）_max=1  f（x）_min=

1

2

点评：本题主要考查用向量运算将函数转化为一个角的一种三角函数，进一步研究三角函数的周期性、单调性、最值等．