Question

已知关于x的不等式

x-a

x+1

＜0的解集为P，函数f(x)=

-x2+3x

的定义域为Q．
（Ⅰ）若a=3，求集合P；
（Ⅱ）若Q∪P=P，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将a=3代入不等式，求出不等式的解集即可确定出集合P；
（Ⅱ）根据负数没有平方根求出x的范围确定出Q，根据a大于0表示出P，由Q∪P=P，得到Q为P的子集，即可求出a的范围．

解答：解：（Ⅰ）由

x-3

x+1

＜0，得（x-3）（x+1）＜0，
解得：-1＜x＜3，
则P={x|-1＜x＜3}；
（Ⅱ）f（x）=

-x2+3x

的定义域为-x²+3x≥0，
解得：0≤x≤3，即Q={x|0≤x≤3}，
由a＞0，得（x-a）（x+1）＜0，
解得：-1＜x＜a，即p={x|-1＜x＜a}，
又∵Q∪P=P，∴Q⊆P，
∴a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．

点评：此题考查了其他不等式的解法，并集及其运算，集合间的包含关系，以及函数的定义域及其求法，利用了转化的思想，是一道基本题型．