Question

已知sinx+siny=

1

3

，则u=sinx+cos²x的最小值是（　　）

• A、-

  1

  9

• B、-1
• C、1
• D、

  5

  4

Answer 1

考点：三角函数的最值,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：已知等式变形表示出siny，根据正弦函数的值域确定出sinx的范围，原式利用同角三角函数间基本关系变形，利用二次函数的性质求出最小值即可．

解答： 解：∵sinx+siny=

1

3

，
∴siny=

1

3

-sinx∈[-1，1]，
∴sinx∈[-

2

3

，1]，
则u=sinx+1-sin²x=-（sinx-

1

2

）²+

5

4

，
结合二次函数的性质可知：当x=-

2

3

时，函数值取得最小值且为-

1

9

，
故选：A．

点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，正弦函数的值域，以及二次函数的性质，解决的关键是将所求的函数的表达式变形为二次函数形式，结合三角函数的有界性性质来得到．