Question

3．若曲线y=lnx+ax²-2x（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可知y′≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数得a≥$\frac{1}{x}-\frac{1}{2{x}^{2}}=\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$，求出右侧函数的最大值即可得出a的范围．

解答 解：y′=$\frac{1}{x}+2ax-2$，x∈（0，+∞），
∵曲线y=lnx+ax²-2x（a为常数）不存在斜率为负数的切线，
∴y′=$\frac{1}{x}+2ax-2$≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴a≥$\frac{1}{x}-\frac{1}{2{x}^{2}}=\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$恒成立，x∈（0，+∞）．
令f（x）=$\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），则f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{3}}$，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，f（x）=$\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$取得最大值f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴a$≥\frac{1}{2}$．
故答案为[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．