Question

8．某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1，2，3，…，12．若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=3²，9是完全平方数）”
（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：
①甲抛掷一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分；
（ⅰ） 甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；
（ⅱ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；
（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，若事件A与B相互独立，试求出所有的整数k．

Answer 1

分析 （1）（i）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y，X的可能取值为6，24，54，0，分别求出相应的概率，从而能求出甲得分的期望；Y的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
且P（Y=i）=$\frac{1}{12}$，i=1，2，3，…，12．由此能求出乙得分的期望．
（ii）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，甲的得分不低于乙的概率为：P=P（X=6，1≤Y≤6）+P（X=24）+P（X=54），由此能求出结果．
（2）抛掷玩具一次，基本事件总数共有12个，则事件A包含3个基本事件，推导出B事件包含的基本事件数必为4的倍数，即k∈{4，8，12}，由此进行分类讨论经，能求出k的所有值．

解答 解：（1）（i）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y，
则X的可能取值为6，24，54，0，
当X=6时，向上的点数为1，P（X=6）=$\frac{1}{12}$，
当X=24时，向上的点数为4，P（X=24）=$\frac{1}{12}$，
当X=54时，向上的点数为9，P（X=54）=$\frac{1}{12}$，
当X=0时，向上的点数为4²，5²，…，12²，有种情况，P（X=0）=$\frac{9}{12}$，
∴X的分布列为：

X	6	24	54	0
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{9}{12}$

∴甲得分的期望为E（X）=$6×\frac{1}{12}+24×\frac{1}{12}+54×\frac{1}{12}+0×\frac{9}{12}$=7．
Y的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
且P（Y=i）=$\frac{1}{12}$，i=1，2，3，…，12．
∴Y的分布列为：

Y	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{12}$

∴乙得分的期望为E（Y）=$\frac{1}{12}$（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）=$\frac{13}{2}$．
（ii）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，甲的得分不低于乙的概率为：
P=P（X=6，1≤Y≤6）+P（X=24）+P（X=54）=$\frac{1}{12}×\frac{6}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}$=$\frac{5}{24}$．
（2）抛掷玩具一次，基本事件总数共有12个，
记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=3²，9是完全平方数）”
记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，
则事件A包含3个基本事件，（1点，4点，9点），
记n（AB），n（B）分别表示事件AB，B包含的基本事件个数，
由P（AB）=P（A）P（B）及古典概率模型，得：
$\frac{n（AB）}{12}$=$\frac{3}{12}$•$\frac{n（B）}{12}$，∴n（B）=4n（AB），①
∴B事件包含的基本事件数必为4的倍数，即k∈{4，8，12}，
当k=4时，n（B）=4，AB={1，4}，n（AB）=2，不符合①，
当k=8时，n（B）=8，AB={1，4}，n（AB）=2，符合①，
当k=12时，n（B）=12，AB={1，4，9}，n（AB）=3，符合①，
故k的所有值为8或12．

点评 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查概率的求法，考查满足条件的整数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意古典概率模型的合理运用．