Question

17．设函数f（x）=|x+2|+|x-1|．
（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；
（2）若集合{x|f（x）+ax-1＞0}=R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值三角不等式，求得f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围．
（2）当集合{x|f（x）+ax-1＞0}=R，函数f（x）＞-ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=-ax+1的上方，数形结合求得a的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|x+2|+|x-1|≥|x+2-（x-1）|=3，故函数f（x）=|x+2|+|x-1|的最小值为3，
此时，-2≤x≤1．
（2）函数f（x）=|x+2|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1，x＜-2}\\{3，-2≤x≤1}\\{2x+1，x≥1}\end{array}\right.$，而函数y=-ax+1表示过点（0，1），斜率为-a的一条直线，
如图所示：当直线y=-ax+1过点A（1，3）时，3=-a+1，∴a=-2，
当直线y=-ax+1过点B（-2，3）时，3=2a+1，∴a=1，
故当集合{x|f（x）+ax-1＞0}=R，函数f（x）＞-ax+1恒成立，
即f（x）的图象恒位于直线y=-ax+1的上方，
数形结合可得要求的a的范围为（-2，1）．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，属于中档题．