Question

20．已知△ABC的面积为S，且$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=S．
（Ⅰ）求tan2B的值；
（Ⅱ）若cosA=$\frac{3}{5}$，且|$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$|=2，求BC边中线AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据△ABC的面积，结合平面向量的数量积求出tanB的值，再求tan2B的值；
（Ⅱ）根据tanB的值，求出sinB、cosB，再由cosA的值求出sinA，从而求出sinC=sinB，
判断△ABC是等腰三角形，求出底边上的中线AD的长．

解答 解：（Ⅰ）△ABC的面积为S，且$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=S；
∴accosB=$\frac{1}{2}$acsinB，
解得tanB=2；
∴tan2B=$\frac{2tanB}{1{-tan}^{2}B}$=-$\frac{4}{3}$；
（Ⅱ）∵|$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$|=2，∴|$\overrightarrow{BA}$|=2，
又tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=2，
sin²B+cos²B=1
∴sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
又cosA=$\frac{3}{5}$，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
∵sinB=sinC，∴B=C，
∴AB=AC=2，
∴中线AD也是BC边上的高，
∴AD=ABsinB=2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与三角恒等变换的应用问题，也考查了同角的三角函数关系与应用问题，是综合题．