Question

10．已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，AA₁=a．棱BB₁的中点为E，棱B₁C₁的中点为F，平面AEF与平面AA₁C₁C的交线与AA₁所成角的正切值为$\frac{2}{3}$，则三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的半径为$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求解直角三角形求出a，然后补形可得三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的半径．

解答 解：如图，连接EF并延长交CC₁ 的延长线于G，
连接AG，在平面ACC₁ 内过G作GH交AA₁ 的延长线于H，
则AH=$\frac{3}{2}a$，GH=AC=4，
∴$tan∠GAH=\frac{GH}{AH}=\frac{4}{\frac{3}{2}a}=\frac{2}{3}$，得a=4．
把原直三棱柱补形为正方体，则正方体的棱长为4．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{3}$．
故答案为：$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查球的体积与表面积，考查空间想象能力和思维能力，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．