Question

2．已知抛物线E：y²=4x的焦点为F，圆C：x²+y²-2ax+a²-4=0，直线l与抛物线E交于点A、B两点，与圆C切于点P．
（1）当切点P的坐标为（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）时，求直线l及圆C的方程；
（2）当a=2时，证明：|FA|+|FB|-|AB|是定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （1）将P代入圆方程，即可求得a的值，求得圆心，根据直线的斜率公式求得CP的斜率k，则直线l的方程斜率为-$\frac{1}{k}$，利用直线的点斜式方程，即可求得l的方程；
（2）将当l垂直与x轴时，求得A和B点坐标，利用两点之间的斜率公式，即可求得|FA|+|FB|-|AB|的值；当l不垂直于x轴时，由直线l与圆C相切，求得4kb+b²=4，将直线l代入抛物线方程．利用韦达定理及弦长公式求得|AB|，利用抛物线的定义，丨FA丨+丨FB丨=x₁+x₂+p，即可求得|FA|+|FB|-|AB|是定值．

解答 解：（1）由圆（x-a）²+y²=4，则圆心（a，0），半径为2，
将P（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）代入圆方程，解得：a=2，或a=-$\frac{2}{5}$，
∴圆的方程（x-2）²+y²=4，或（x+$\frac{2}{5}$）²+y²=4，
当a=2，圆心C（2，0）则直线CP的斜率k=$\frac{\frac{8}{5}-0}{\frac{4}{5}-2}$=-$\frac{4}{3}$，
由直线l的斜率为-$\frac{1}{k}$=$\frac{3}{4}$，则直线l的方程y-$\frac{8}{5}$=$\frac{3}{4}$（x-$\frac{4}{5}$），整理得：4y-3x-4=0；
当a=-$\frac{2}{5}$圆心C（-$\frac{2}{5}$，0）则直线CP的斜率k=$\frac{\frac{8}{5}-0}{\frac{4}{5}-（-\frac{2}{5}）}$=$\frac{4}{3}$，
由直线l的斜率为-$\frac{1}{k}$=-$\frac{3}{4}$，则直线l的方程y-$\frac{8}{5}$=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{4}{5}$），整理得：20y+15x-44=0，
综上可知：直线l方程：4y-3x-4=0，圆C的方程（x-2）²+y²=4或
直线l方程：20y+15x-44=0，圆C的方程（x+$\frac{2}{5}$）²+y²=4；
（2）当a=2时，圆C的方程（x-2）²+y²=4，
当l垂直与x轴时，则x=4，A（4，4），B（4，-4），
∴丨FA丨=丨FB丨=5，丨AB丨=8，
∴|FA|+|FB|-|AB|=2；
当l不垂直于x轴时，设直线l：y=kx+b（k≠0），
直线l与圆C相切，则$\frac{丨2k-0+b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，则4kb+b²=4，
∴b≠0，kb＜0，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
由△=（2kb-4）2-4k²b²=-16kb+4（4kb+b²）=4b²＞0，
由x₁+x₂=-$\frac{2kb-4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$，
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{-\frac{2kb-4}{{k}^{2}}）}^{2}-4×\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{-16kb+16}}{{k}^{2}}$，
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{4{b}^{2}}}{{k}^{2}}$，
=$\frac{\sqrt{4（{b}^{2}+{k}^{2}{b}^{2}）}}{{k}^{2}}$，
=$\frac{\sqrt{4（4-4kb+{k}^{2}{b}^{2}）}}{{k}^{2}}$，
=$\frac{4-2kb}{{k}^{2}}$，
由抛物线的性质可知：丨FA丨+丨FB丨=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2，
∴|FA|+|FB|=-$\frac{2kb-4}{{k}^{2}}$+2，
∴|FA|+|FB|-|AB|=-$\frac{2kb-4}{{k}^{2}}$+2-$\frac{4-2kb}{{k}^{2}}$=2，
∴|FA|+|FB|-|AB|是定值，定值为2．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及抛物线的焦点弦公式，考查计算能力，属于中档题．