Question

17．在数列{a_n}中，已知a₁=3，且数列{a_n+（-1）ⁿ}是公比为2的等比数列，对于任意的n∈N^*，不等式a₁+a₂+…+a_n≥λa_n+1恒成立，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，\frac{2}{5}}]$
• B． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$
• C． $（{-∞，\frac{2}{3}}]$
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 由等比数列通项公式得${a}_{n}+（-1）^{n}$=2ⁿ，从而${a}_{n}={2}^{n}-（-1）^{n}$，再由等比数列前n项和公式得a₁+a₂+…+a_n=${2}^{n+1}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（-1）^{n}$，由此得到对于任意的n∈N^*，不等式a₁+a₂+…+a_n≥λa_n+1恒成立，等价于对于任意的n∈N^*，不等式λ≤$\frac{{2}^{n+1}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（-1）^{n}}{{2}^{n+1}-（-1）^{n+1}}$恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．

解答 解：∵在数列{a_n}中，已知a₁=3，且数列$\left\{{{a_n}+{{（{-1}）}^n}}\right\}$是公比为2的等比数列，
∴${a}_{n}+（-1）^{n}$=2ⁿ，
∴${a}_{n}={2}^{n}-（-1）^{n}$，
∴a₁+a₂+…+a_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-$\frac{-1×[1-（-1）^{n}]}{1-（-1）}$=${2}^{n+1}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（-1）^{n}$，
∵对于任意的n∈N^*，不等式a₁+a₂+…+a_n≥λa_n+1恒成立，
∴对于任意的n∈N^*，不等式${2}^{n+1}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（-1）^{n}$≥λ[2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹]恒成立，
∴对于任意的n∈N^*，不等式λ≤$\frac{{2}^{n+1}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（-1）^{n}}{{2}^{n+1}-（-1）^{n+1}}$恒成立，
当n=1时，$\frac{{2}^{n+1}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（-1）^{n}}{{2}^{n+1}-（-1）^{n+1}}$取最大值$\frac{2}{3}$，
∴$λ≤\frac{2}{3}$．
∴实数λ的取值范围是（-∞，$\frac{2}{3}$]．
故选：C．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质、等价转化思想的合理运用．