Question

12．如图，在△ABC中，AB=BC=$\sqrt{6}$，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（　　）

• A． π
• B． 3π
• C． 5π
• D． 7π

Answer 1

分析 由题意得该三棱锥的面PCD是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，且BD⊥平面PCD，求出三棱锥P-BDC外接球半径R=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，由此能示出该球的表面积．

解答 解：由题意得该三棱锥的面PCD是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，
且BD⊥平面PCD，
设三棱锥P-BDC外接球的球心为O，
△PCD外接圆的圆心为O₁，则OO₁⊥面PCD，
∴四边形OO₁DB为直角梯形，
由BD=$\sqrt{3}$，O₁D=1，及OB=OD，得OB=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴外接球半径为R=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴该球的表面积S=4πR²=4$π×\frac{7}{4}$=7π．
故选：D．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三棱锥的外接球的性质的合理运用．