Question

2． 如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1．
（Ⅰ）若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成角为45°，求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设PC交DE于点N，连结MN，推导出MN∥AC，由此能证明AC∥平面MDE．
（Ⅱ）推导出∠PBD为PB与平面ABCD所成角，从而PD=BD=$\sqrt{2}$，设D到平面PBC的距离为d，由S_△BDC•PD=S_△PBC•d，能求出点D到平面PBC的距离．

解答 证明：（Ⅰ）设PC交DE于点N，连结MN，
在△PAC中，∵M，N分别为PA，PC的中点，
∴MN∥AC，又AC?平面MDE，MN?平面MDE，
∴AC∥平面MDE．
解：（Ⅱ）∵平面PDCE⊥平面ABCD，四边形PDCE为矩形，
∴PD⊥平面ABCD，∴∠PBD为PB与平面ABCD所成角，
∵PB与平面ABCD所成角为45°，
∴PD=BD=$\sqrt{2}$，
设D到平面PBC的距离为d，
∴$\frac{1}{3}$S_△BDC•PD=$\frac{1}{3}$S_△PBC•d，
∵${S}_{△BDC}=1，{S}_{△PBC}=\sqrt{2}$，
∴d=1，
∴点D到平面PBC的距离为1．

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．