Question

4．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，A₁B与AB₁交于点D，A₁C与AC₁交于点E．
求证：（1）DE∥平面B₁BCC₁；
（2）平面A₁BC⊥平面A₁ACC₁．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线的性质证明DE∥BC，即可证明DE∥平面B₁BCC₁；
（2）证明BC⊥平面A₁ACC₁，即可证明平面A₁BC⊥平面A₁ACC₁．

解答 证明：（1）由题意，D，E分别为A₁B，A₁C的中点，
∴DE∥BC，
∵DE?平面B₁BCC₁，BC?平面B₁BCC₁，
∴DE∥平面B₁BCC₁；
（2）∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC，
∵AC⊥BC，AC∩AA₁=A，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∵BC?平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面A₁ACC₁．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．