Question

12．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF$\stackrel{∥}{=}$2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC．
（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求$\frac{BG}{BF}$的值；
（Ⅱ）求二面角A-BF-E的大小的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，可得AF⊥AC，则AF⊥平面ABC，得到平面ABF⊥平面ABC，过G作GD⊥AB，垂足为D，则GD⊥平面ABC，连接CD，可证得则四边形GDCF为平行四边形，从而得到GD=CE=$\frac{1}{2}AF$，则G为BF的中点，得到$\frac{BG}{BF}$的值；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角E-BF-A的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，
AF⊥AC，∴AF⊥平面ABC，则平面ABF⊥平面ABC，
过G作GD⊥AB，垂足为D，则GD⊥平面ABC，连接CD，
由GD⊥平面ABC，AF⊥平面ABC，AF∥CE，可得GD∥CE，
又EG∥平面ABC，∴EG∥CD，则四边形GDCF为平行四边形，
∴GD=CE=$\frac{1}{2}AF$，
∴$\frac{BG}{BF}$=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AF⊥AB，AF⊥BC
∵BC⊥AB，∴BC⊥平面ABF．
如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz．
则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），
$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0）是平面ABF的一个法向量．
设平面BEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，令y=1，则z=-2，x=-2，$\overrightarrow{n}$=（-2，1，-2），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{1}{3}$，
∴二面角A-BF-E的正弦值为$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及空间二面角的计算，建立空间直角坐标系，利用向量法是解决本题的关键，是中档题．