Question

7．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的两焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线上的一点，若PF₁与双曲线的一条渐近线平行，则cos∠F₁PF₂=（　　）

• A． $-\frac{11}{13}$
• B． $-\frac{11}{12}$
• C． $-\frac{7}{12}$
• D． $-\frac{1}{13}$

Answer 1

分析 根据P为双曲线上的一点，若PF₁与双曲线的一条渐近线平行，求出直线直线PF₁的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），再联立双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的方程，求出点P的坐标，根据余弦定理即可求出答案．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的两焦点分别为F₁，F₂，
∴a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2，
渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴F₁（-2，0），F₂（2，0）
∵P为双曲线上的一点，PF₁与双曲线的一条渐近线平行，
∴直线PF₁的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得x=-$\frac{7}{4}$，y=$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
∴P（-$\frac{7}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$），
∴|PF₁|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴|PF₂|=2a+|PF₁|=2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{13\sqrt{3}}{6}$，
由cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2•|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$=-$\frac{11}{13}$，
故选：A

点评 本题考查了双曲线的简单性质和余弦定理，属于中档题