Question

2．如图，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（1）求证：CD⊥平面ABD；
（2）若AB=BD=CD=2，M为AD中点，求点A到平面MBC的距离．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理的逆定理可证明CD⊥BD，CD⊥AD，故CD⊥平面ABD；
（2）利用等体积法，设点A到平面MBC的距离为d，求出V_A-MBC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d，再求出V_A-MBC=V_C-ABM=$\frac{1}{3}$S_△ABM•CD=$\frac{2}{3}$，问题得以解决．

解答 （1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵CD⊥BD，AB∩BD=B，
∴CD⊥平面ABD；
（2）解：∵AB⊥平面BCD，BD?平面BCD，
∴AB⊥BD．
∵AB=BD=2，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∵M为AD中点，
∴BM=DM=$\sqrt{2}$，
∵CD⊥BD，
∴BC=2$\sqrt{2}$，
由（1）可知CD⊥平面ABD，
∴CD⊥AD，
∴CM=$\sqrt{D{M}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$
∴BC²=CM²+BM²，
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$，
设点A到平面MBC的距离为d，
∴V_A-MBC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$S_△ABD=1，
∵CD⊥平面ABD，
∴V_A-MBC=V_C-ABM=$\frac{1}{3}$S_△ABM•CD=$\frac{1}{3}$×1×2=$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d，
∴d=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故点A到平面MBC的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查线面垂直，考查三棱锥A-MBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键．