Question

15．（1）已知f（x）是二次函数且f（0）=2，f（x+1）-f（x）=x-1，求f（x）的解析式
（2）函数f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$，若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，可得设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=2，f（x+1）-f（x）=x-1，利用待定系数法求解即可．
（2）根据二次函数的性质求解即可．

解答 解：（1）由题意，设f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=2，
∴c=2，
则f（x）=ax²+bx+2，
由f（x+1）-f（x）=x-1，即a（x+1）²+b（x+1）+2-ax²-bx-2=x-1
可得：a=$\frac{1}{2}$，b=$-\frac{3}{2}$，
∴f（x）的解析式为：f（x）=$\frac{1}{2}$x²$-\frac{3}{2}$x+2
（2）f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$，
∵f（x）＞0恒成立，即$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$＞0在x∈[1，+∞），
∵x∈[1，+∞），
转化为x²+2x+a＞0，
令g（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1，
其对称轴x=-1，开口向上，
可知x在（-1，+∞）是单调递增．
∴只需g（1）＞0即可．
得3+a＞0，
∴a＞-3
故得实数a的取值范围（-3，+∞）．

点评 本题考查了函数解析式的求法，利用了待定系数法，同时考查了二次函数的恒成立问题．属于基础题．