Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{cosB}{b}$=-$\frac{3cosC}{c}$，则角A的最大值是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求2a²+b²=c²，进而利用余弦定理，基本不等式可求cosA=$\frac{3{b}^{2}+{c}^{2}}{4bc}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求角A的最大值．

解答 解：∵$\frac{cosB}{b}$=-$\frac{3cosC}{c}$，
∴由余弦定理可得：$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2acb}$=-3×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2abc}$，
∴解得：2a²+b²=c²，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-\frac{{c}^{2}-{b}^{2}}{2}}{2bc}$=$\frac{3{b}^{2}+{c}^{2}}{4bc}$≥$\frac{2\sqrt{3}bc}{4bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴角A的最大值是$\frac{π}{6}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．