Question

5．2015年12月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为2015年以来最严重的污染过程．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：

时间	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期七
车流量x（万辆）	1	2	3	4	5	6	7
PM2.5的浓度y（微克/立方米）	28	30	35	41	49	56	62

（Ⅰ）由散点图知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）（ⅰ）利用（Ⅰ）所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度；
（ⅱ）规定：当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100]内，空气质量等级为良．为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数．）
参考公式：回归直线的方程是$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，其中$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}^{2}-{n\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据公式求出回归系数，可写出线性回归方程；
（Ⅱ）（ⅰ）根据（Ⅰ）的性回归方程，代入x=8求出PM2.5的浓度；
（ⅱ）根据题意信息得：6x+19≤100，即x≤13.5，解得x的取值范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由数据可得：$\overline x=\frac{1}{7}（{1+2+3+4+5+6+7}）=4$，…（1分）$\overline y=\frac{1}{7}（{28+30+35+41+49+56+62}）=43$，…（2分）
$\sum_{i=1}^7{{x_i}{y_i}}=1372$，$\sum_{i=1}^7{{x_i}^2}=140$，…（4分）
$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{1372-1204}{140-112}=6$，…（6分）$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x=43-4×6=19$…（7分）
故y关于x的线性回归方程为$\widehaty=6x+19$．…（8分）
（Ⅱ）（ⅰ）当车流量为8万辆时，即x=8时，$\widehaty=6×8+19=67$．
故车流量为8万辆时，PM2.5的浓度为67微克/立方米．…（10分）
（ⅱ）根据题意信息得：6x+19≤100，即x≤13.5，…（11分）
故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内．…（12分）

点评 本题主要考查了线性回归分析的方法，包括用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力，属于中档题．