Question

12．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为a_i（i=1，2，…，10），且a₁＜a₂＜…＜a₁₀，若48a_i=5M，则i=6．

Answer 1

分析 由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a_n}且设公差为d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a₁和d值，由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M，代入已知的式子化简求出i的值．

解答 解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，
记为{a_n}，设公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{2}=2}\\{{a}_{9}+{a}_{10}=4}\end{array}\right.$，解得a₁=$\frac{15}{16}$，d=$\frac{1}{8}$，
所以该金杖的总重量M=$10×\frac{15}{16}+\frac{10×9}{2}×\frac{1}{8}$=15，
因为48a_i=5M，所以48[$\frac{15}{16}$+（i-1）×$\frac{1}{8}$]=25，
即39+6i=75，解得i=6，
故答案为：6．

点评 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的实际应用，以及方程思想，考查化简、计算能力．