Question

4．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y-12≤0}\\{x≥2}\\{y≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，则$\frac{xy}{{x}^{2}{+y}^{2}}$的取值范围是（　　）

• A． [2，$\frac{5}{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． [$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，求出$\frac{y}{x}$的范围，化简目标函数，转化为函数的值域，求解即可．

解答 解：实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y-12≤0}\\{x≥2}\\{y≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$的可行域如图：

由图形可知：$\frac{y}{x}$的最小值：K_OB，最大值是K_OA，由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{3x+2y-12=0}\end{array}\right.$解得A（2，3），由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}}\\{3x+2y-12=0}\end{array}\right.$可得B（3，$\frac{3}{2}$），K_OB=$\frac{1}{2}$，K_OA=$\frac{3}{2}$，
则$\frac{xy}{{x}^{2}{+y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$，令t=$\frac{y}{x}$，t∈$[\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$，g（t）=$\frac{1}{t}$+t≥2，等号成立的条件是t=1，1∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，当t=$\frac{1}{2}$时，g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$，当t=$\frac{3}{2}$时，g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{13}{6}$，
可得$\frac{xy}{{x}^{2}{+y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$∈[$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$]．
故选：D．

点评 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．