Question

14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）．若f（x）在区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上具有单调性，且f（$\frac{3π}{4}$）=f（$\frac{11π}{12}$）=-f（$\frac{π}{4}$）．则f（x）的最小正周期为$\frac{4π}{3}$．

Answer 1

分析 f（$\frac{3π}{4}$）=f（$\frac{11π}{12}$）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上具有单调性，且f（$\frac{3π}{4}$）=-f（$\frac{π}{4}$）．可得函数的一个对称中心，利用对称中心与对称轴距离的最小值为$\frac{1}{4}$周期，则周期可求

解答 解：由f（$\frac{3π}{4}$）=f（$\frac{11π}{12}$）可知函数f（x）的一条对称轴为x=$\frac{\frac{3π}{4}+\frac{11π}{12}}{2}$=$\frac{5π}{6}$，
又f（$\frac{3π}{4}$）=-f（$\frac{π}{4}$），则f（x）有对称中心（$\frac{π}{2}$，0），
由于f（x）在区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上具有单调性，
则$\frac{3π}{4}-\frac{π}{4}$≤$\frac{1}{2}$T所以T≥π，从而T=4（$\frac{5π}{6}-\frac{π}{2}$）=$\frac{4π}{3}$．
故答案为：$\frac{4π}{3}$．

点评 本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题