Question

1．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F且倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（　　）

• A． y²=4x
• B． y²=8x
• C． y²=3x
• D． y²=6x

Answer 1

分析 抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用配方法求得|x₁-x₂|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p，即可得出结论．

解答 解：由题意可知过焦点的直线方程为y=$\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）$，
联立抛物线方程整理可得3x²-5px+$\frac{3}{4}$p²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{3}$p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{25}{9}{p}^{2}-{p}^{2}}$=$\frac{4}{3}$p，
又|AB|=$\sqrt{1+3}•\frac{4}{3}p$=8求得p=3，
∴抛物线的方程为y²=6x．
故选D．

点评 本题主要考查了抛物线的应用，两点间的距离公式的应用．解题的时候注意利用好韦达定理，设而不求，找到解决问题的途径．