Question

13．在等差数列{a_n}中，a₂=5，a₁+a₃+a₄=19．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}前n项和为S_n，且S_n+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=λ（λ为常数），令c_n=b_n+1（n∈N^*）．求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，列方程解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得S_n=λ-n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，求得c_n=b_n+1=（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理可得所求和．

解答 解：（Ⅰ）等差数列{a_n}中，a₂=5，a₁+a₃+a₄=19，
设等差数列{a_n}的公差为d，
可得a₁+d=5，3a₁+5d=19，
解得a₁=3，d=2，
则a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）S_n+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=λ（λ为常数），
可得S_n+$\frac{2n}{{2}^{n}}$=λ，
即有S_n=λ-n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=λ-n•（$\frac{1}{2}$）^n-1-λ+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-2=（n-2）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
c_n=b_n+1=（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
数列{c_n}的前n项和T_n=0•（$\frac{1}{2}$）+1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=0•（$\frac{1}{2}$）²+1•（$\frac{1}{2}$）³+2•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得，$\frac{1}{2}$T_n=0+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
可得数列{c_n}的前n项和T_n=1-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查等差数列的通项公式的求法，注意运用方程思想，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．