Question

9．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为3$\sqrt{2}$的正方形，AA₁=3，E是线段A₁B₁上一点，若二面角A-BD-E的正切值为3，则三棱锥A-A₁D₁E外接球的表面积为35π．

Answer 1

分析 如图所示，求出三棱锥A-A₁D₁E外接球的直径为$\sqrt{35}$，问题得以解决．

解答 解：过点E作EF∥AA₁交AB于F，过F作FG⊥BD于G，连接EG，
则∠EGF为二面角A-BD-E的平面角，
∵tan∠EGF=3，
∴$\frac{EF}{A{A}_{1}}$=3，
∵EF=AA₁=3，
∴FG=1，
则BF=$\sqrt{2}$=B₁E，
∴A₁E=2$\sqrt{2}$，
则三棱锥A-A₁D₁E外接球的直径为$\sqrt{8+9+18}$=$\sqrt{35}$，
则其表面积为35π，
故答案为：35π

点评 本题考查了长方体和球体的几何体的性质，以及球的表面积公式，关键是求出球的直径，属于中档题．