Question

已知k为实数，对于实数a和b定义运算“*”：a*b=

a2-kab，a≤b b2-kab，a＞b

，设f（x）=（2x-1）*（x-1）．
（Ⅰ）若f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上为增函数，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）已知k＞

1

2

，且当x＞0时，f（f（x））＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由新定义，运用分段函数的形式求出f（x）的解析式，再由导数大于等于0恒成立，解不等式即可得到；
（Ⅱ）通过x=1求出f（f（1））＞0求出k＜1，再对x＞0，x≤0，分别判断f（x）的值域，进而求得f（f（x））的值域，即可得到k的范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（2x-1）*（x-1）
=

2(2-k)x2+(3k-4)x+1-k，x≤0 (1-2k)x2+(3k-2)x+1-k，x＞0

，
若f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上为增函数，
则当-

1

2

≤x≤0时，f（x）的导数4（2-k）x+3k-4≥0恒成立，
当0＜x≤

1

2

时，f（x）的导数2（1-2k）x+3k-2≥0恒成立．
即有

-2(2-k)+3k-4≥0 3k-4≥0 1-2k+3k-2≥0 3k-2≥0

即为

k≥ 8 5 k≥ 4 3 k≥1 k≥ 2 3

，
解得k≥

8

5

；
（Ⅱ）由k＞

1

2

，且当x＞0时，
当x=1时，f（1）=1-2k+3k-2+1-k=0，
f（0）=1-k，
当k≥1时，f（0）≤0，
由当x＞0时，f（f（x））＞0恒成立，
则k＜1．
当

1

2

＜k＜1时，当f（x）≤0时，抛物线开口向上，且f（x）＞f（0）=1-k，
均有f（f（x））＞f（1-k）＞0，
当f（x）＞0，则抛物线开口向下，且f（x）＜f（0）=1-k，
均有f（f（x））＞f（1-k）＞0．
则有k的取值范围为（

1

2

，1）．

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用，考查二次函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．