Question

9．数列{a_n}满足（n一1）a_n+1=（n+1）a_n-2（n-1），n=1，2，3，…且a₁₀₀=10098，求数列{a_n}的通式．

Answer 1

分析 由已知递推式结合a₁₀₀=10098求得a₁=0，a₂=4，再把数列递推式变形得到$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）n}-\frac{{a}_{n}}{n（n-1）}=-2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，累加后求数列{a_n}的通式．

解答 解：在（n-1）a_n+1=（n+1）a_n-2（n-1）中，取n=1，可得a₁=0，
在递推式中分别取n=2，3，4，…，99，结合a₁₀₀=10098，可得a₂=4．
当n≥2时，
由（n-1）a_n+1=（n+1）a_n-2（n-1），得
$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）n}=\frac{{a}_{n}}{n（n-1）}-\frac{2}{n（n+1）}$，
即$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）n}-\frac{{a}_{n}}{n（n-1）}=-2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{{a}_{3}}{3•2}-\frac{{a}_{2}}{2•1}=-2（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$，
$\frac{{a}_{4}}{4•3}-\frac{{a}_{3}}{3•2}=-2（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$，
$\frac{{a}_{5}}{5•4}-\frac{{a}_{4}}{4•3}=-2（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）$，
…
$\frac{{a}_{n}}{n（n-1）}-\frac{{a}_{n-1}}{（n-1）（n-2）}=-2（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2）．
累加得：$\frac{{a}_{n}}{n（n-1）}=\frac{{a}_{2}}{2}-2（\frac{1}{2}-\frac{1}{n}）=\frac{{a}_{2}}{2}-\frac{n-2}{n}$=$\frac{4}{2}-\frac{n-2}{n}=\frac{n+2}{n}$，
∴a_n=（n-1）（n+2）（n≥2）．
验证n=1时上式成立．
∴a_n=（n-1）（n+2）．

点评 本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，解答此题的关键是由题意得到$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）n}=\frac{{a}_{n}}{n（n-1）}-\frac{2}{n（n+1）}$并裂项，难度较大．