Question

（理）等差数列{a_n}中，则a₃+a₄+a₅=12，则4a₃+2a₆=

24

，若数列{b_n}为等比数列，其前n项和S_n，若对任意n∈N^*，点（n，S_n）均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r为常数）图象上，则r=

-1

．

Answer 1

分析：根据等差数列的性质得出a₃+a₅=2a₄从而求出a4，再由4a₃+2a₆=4（a₁+2d）+2（a₁+5d）=6a₁+18d=6a4，将相应的值的代入即可求出答案．
由已知得 Sn=bⁿ+r，利用数列中a_n与 Sn关系 an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求{a_n}的通项公式，再据定义求出r的值．

解答：解：等差数列{a_n}中，
∵a₃+a₄+a₅=12，
∴a₄=a₁+3d=4，
∴4a₃+2a₆=4（a₁+2d）+2（a₁+5d）
=6a₁+18d
=24．
因为对任意的n∈N^*，点（n，S_n），
均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图象上
所以得S_n=bⁿ+r，
当n=1时，a₁=S₁=b+r，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ+r-（b^n-1+r ）=（b-1）b ^n-1，
又因为{a_n}为等比数列，
∴公比为b，
所以 

a2

a1

=

(b-1)b

b+r

=b，
解得r=-1．

点评：此题第一小题考查学生灵活运用等差数列的前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．本题第二小题是函数与数列、不等式的综合．主要考查等比数列定义，及利用错位相消法来处理数列求和、恒成立问题．