Question

（理）等差数列{a_n}中，首项a₁=1，公差d≠0，已知数列成等比数列，其中k₁=1，k₂=2，k₃=5．
（1）求数列{a_n}，{k_n}的通项公式；
（2）当n∈N⁺，n≥2时，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得a₂²=a₁•a₅，从而可求d=2，故可求a_n=2n-1，从而，又等比数列中，公比，所以 ，故可求{k_n}的通项公式；
（2）先考虑通式：，可得m=2时，，m≥3时，，再采用错位相减法即可求和证得．
解答：解：（1）a₂²=a₁•a₅⇒（1+d）²=1•（1+4d）⇒d=2，∴a_n=2n-1，
∴，
又等比数列中，公比，所以 ，
∴…（6分）
证明：（2），
m=2时，，m≥3时，∵3^m-1＞2m，∴，…（9分）
记，则，
相减得到：，
所以…（13分）
所以．…（14分）
点评：本题以数列为载体，综合考查等差数列与等比数列，考查放缩法的运用，考查数列与不等式，综合性强．