Question

(本小题满分14分) 已知函数及正整数数列. 若,且当时,有; 又,,且对任意恒成立. 数列满足:.

(1) 求数列及的通项公式;

(2) 求数列的前项和；

(3) 证明存在，使得对任意均成立．

Answer 1

(1)，， (2) 当时，．这时数列的前项和， (3) 存在，使得对任意均成立

解析:

(1) 由得： .因为是正整数列,所以.于是是等比数列.  又,, 所以 .                              

因为 ,所以,于是:,说明是以2为公比的等比数列. 所以

因为, 由题设知： ，解得：。

又因为且，所以。

于是。

(2) 由得：.由及得：

设                ①

　　　　　　　　②

当时，①式减去②式, 得

于是,

这时数列的前项和．

当时，．这时数列的前项和．

(3) 证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：

　　　　                ③

由知，要使③式成立，只要，

因为

．

所以③式成立．

因此，存在，使得对任意均成立．