Question

（理）函数f（x）=min{2，|x-2|}，其中min{a，b}=，若动直线y=m与函数y=f（x）f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，则x₁•x₂•x₃是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”________．

Answer 1

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分析：由f（x）表达式作出函数f（x）的图象，由图象可求得符合条件的m的取值范围，不妨设0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，通过解方程可用m把x₁，x₂，x₃分别表示出来，利用基本不等式即可求得x₁•x₂•x₃的最大值．
解答：作出函数f（x）的图象如下图所示：

由解得A（4-2，2-2），
由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2-2．
不妨设0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，
则由2=m得x₁=，由|x₂-2|=2-x₂=m，得x₂=2-m，由|x₃-2|=x₃-2=m，得x₃=m+2，
且2-m＞0，m+2＞0，
所以x₁•x₂•x₃=×（2-m）×（2+m）=•m²•（4-m²）≤•=1，
当且仅当m²=4-m²即m=时取得等号，
所以x₁•x₂•x₃存在最大值为1．
故答案为：1．
点评：本题考查函数与方程的综合运用，考查基本不等式在求函数最值中的应用，考查数形结合思想，考查学生综合运用知识分析解决新问题的能力，难度较大．