Question

设函数f(x)=

3

cos(x+

π

6

)-cosx，将f（x）的图象按向量

a

=(

π

6

，0)平移后得到函数g（x）的图象．
（1）求g（x）的解析式；
（2）设h（x）=f（ωx）（ω＞0），求使h（x）在区间[-

π

6

，

π

6

]上是减函数的ω的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的余弦公式和辅助角公式化简，并结合函数图象平移的公式，可得g（x）=-sin（x-

π

3

）；
（2）根据正弦函数的单调区间公式，解出函数h（x）的减区间为[

1

ω

（-

π

3

+2kπ），

1

ω

（

2π

3

+2kπ）]（k∈Z），再根据题意建立关于ω的不等式组，解之即可满足条件的ω的最大值等于2．

解答：解：（1）∵f(x)=

3

cos(x+

π

6

)-cosx=

3

2

cosx-

3

2

sinx-cosx
=

1

2

cosx-

3

2

sinx=-sin（x-

π

6

）
∴f（x）的图象按向量

a

=(

π

6

，0)平移后，得到g（x）=-sin（x-

π

3

）的图象
因此g（x）的解析式是g（x）=-sin（x-

π

3

）
（2）h（x）=f（ωx）=-sin（ωx-

π

6

）
令-

π

2

+2kπ≤ωx-

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

π

3

+2kπ≤ωx≤

2π

3

+2kπ（k∈Z），
∴函数h（x）的减区间为[

1

ω

（-

π

3

+2kπ），

1

ω

（

2π

3

+2kπ）]（k∈Z），
∵当h（x）在区间[-

π

6

，

π

6

]上是减函数
∴当k=0时，-

π

3ω

≤-

π

6

且

2π

3ω

≥

π

6

，解之得ω≤2
故满足条件的ω的最大值等于2．

点评：本题给出三角函数的图象变换，求函数的表达式并讨论函数的减区间．着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．