Question

9．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，圆O：x²+y²=13，椭圆C的左右焦点分别为F₁、F₂，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF₁|•|PF₂|=6，则|PM|•|PN|的值为（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 由椭圆的定义及条件有$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=6}\\{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=6}\end{array}\right.$，可解出|PF₁|，|PF₂|，设P（x，y），且${F}_{1}（-\sqrt{6}，0），{F}_{2}（\sqrt{6}，0）$，从而可以求出P点的坐标$（\frac{3}{\sqrt{2}}，\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}）$，这样便可写出直线PO的方程，而联立圆的方程便可得出M，N的坐标，从而可以求出|PM|•|PN|的值．

解答 解：根据条件，$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=6}\\{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=6}\end{array}\right.$；
解得$|P{F}_{1}|=3+\sqrt{3}，|P{F}_{2}|=3-\sqrt{3}$；
设P（x，y），则：$\left\{\begin{array}{l}{（x+\sqrt{6}）^{2}+{y}^{2}=（3+\sqrt{3}）^{2}}\\{（x-\sqrt{6}）^{2}+{y}^{2}=（3-\sqrt{3}）^{2}}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{\sqrt{2}}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\end{array}\right.$，$P（\frac{3}{\sqrt{2}}，\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}）$；
∴直线PO的方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，带入圆的方程并整理得：
${x}^{2}=\frac{39}{4}$；
∴$x=±\frac{\sqrt{39}}{2}$，y=$±\frac{\sqrt{13}}{2}$；
∴$M（\frac{\sqrt{39}}{2}，\frac{\sqrt{13}}{2}），N（-\frac{\sqrt{39}}{2}，-\frac{\sqrt{13}}{2}）$；
∴$|PM|•|PN|=\sqrt{（\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{39}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{13}}{2}）^{2}}$$•\sqrt{（\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{39}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{13}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{19-2\sqrt{78}}•\sqrt{19+2\sqrt{78}}=7$．
故选A．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的定义，以及两点间距离公式，直线的点斜式方程，数形结合解题的方法．