Question

18．如图：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）的上顶点为A，下顶点为B，左顶点为C，F为右焦点，过F作与AC平行的直线交椭圆于M、N两点．
（1）若直线BF的斜率是直线AC的斜率的3倍，求椭圆的离心率．
（2）若$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{OE}$，点E在椭圆上，且椭圆的长轴长为4，求椭圆的方程；
（3）若$\overrightarrow{MF}$=2$\overrightarrow{FN}$，$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{PA}$；求证：直线FP的斜率为定值．

Answer 1

分析 （1）写出两条直线的斜率，由斜率的关系得到椭圆的离心率；
（2）写出直线MN的方程，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系结合平面向量的坐标运算求出E的坐标，代入椭圆方程求解；
（3）写出直线MN的方程，联立直线方程和椭圆方程，求出M，N的横坐标，由向量关系得到坐标关系，代入后可得b，c的关系，结合隐含条件得到a，b的关系，再由斜率公式求得直线FP的斜率，整理后得答案．

解答 （1）解：由题意，${k}_{AC}=\frac{b}{a}，{k}_{BF}=\frac{b}{c}$，
由$\frac{b}{c}=3\frac{b}{a}$，得$\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$．
∴椭圆的离心率e=$\frac{1}{3}$；
（2）解：∵椭圆的长轴长为4，∴a=2．
设MN所在直线方程为y-0=$\frac{b}{2}$（x-c），即y=$\frac{b}{2}$x-$\frac{bc}{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{2}x-\frac{bc}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得2b²x²-2b²cx+b²c²-4b²=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=c，${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{b}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）-bc=-\frac{bc}{2}$．
∴$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=（c，-\frac{bc}{2}）$，即E（c，$-\frac{bc}{2}$），
代入椭圆方程得：$\frac{{c}^{2}}{4}+\frac{{c}^{2}}{4}=1$，即c²=2．
∴b²=a²-c²=4-2=2．
则椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（3）证明：直线MN的方程为y=$\frac{b}{a}x-\frac{bc}{a}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x-\frac{bc}{a}}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得2x²-2cx-b²=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
解得：${x}_{1}=\frac{c-\sqrt{{c}^{2}+2{b}^{2}}}{2}，{x}_{2}=\frac{c+\sqrt{{c}^{2}+2{b}^{2}}}{2}$．
由$\overrightarrow{MF}$=2$\overrightarrow{FN}$，得x₁+2x₂=3c，即$\frac{c}{2}-\frac{\sqrt{{c}^{2}+2{b}^{2}}}{2}+c+\sqrt{{c}^{2}+2{b}^{2}}=3c$．
整理得：b=2c．
由${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}={b}^{2}+\frac{{b}^{2}}{4}=\frac{5{b}^{2}}{4}$，得$a=\frac{\sqrt{5}}{2}b$．
∵$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{PA}$，∴P（$-\frac{a}{2}，\frac{b}{2}$），又F（c，0），
∴${k}_{FP}=\frac{\frac{b}{2}}{-\frac{a}{2}-c}=\frac{\frac{b}{2}}{-\frac{a+b}{2}}=-\frac{b}{a+b}$=$-\frac{b}{（\frac{\sqrt{5}}{2}+1）b}=4-2\sqrt{5}$（定值）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，训练了平面向量在解题中的应用，考查计算能力，是中档题．