Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（$\sqrt{{a}_{n}}，{S}_{n}$）在曲线y=2x²-2上
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和求和的关系，结合等比数列的定义即可得证；
（2）求出b_n，即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 （1）证明：由于点（$\sqrt{{a}_{n}}，{S}_{n}$，S_n）在曲线y=2x²-2上．
则S_n=2a_n-2，
n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
当n＞1时，S_n-1=2a_n-1-2，
可得S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1=a_n，
即为a_n=2a_n-1，
可得数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）a_n=a₁q^n-1=2ⁿ．
b_n=a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ．
数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-1．

点评 本题考查数列的通项和求和的关系，同时考查等比数列的定义和通项及求和公式的运用，等比数列求数列的和的方法，考查运算能力，属于中档题．