Question

二项式(x+

2

x

)4的展开式中的常数项为

 

，展开式中各项系数和为

 

．（用数字作答）

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出通项令x的指数为0得到常数项；令二项式中x为1求出各项系数和．

解答：解：(x+

2

x

)4展开式的通项Tr+1=

C

r 4

x4-r(

2

x

)r=

C

r 4

x4-r-r2r
令4-2r=0得r=2
故展开式的常数项为C₄²×2²=24
令二项式中的x=1得到系数之和为：

C

0 4

+

C

1 4

2+

C

2 4

22+..+

C

4 4

24=(1+

2

1

)4=34=81
故答案为24，81．

点评：本题涉及的考点：
（1）二项式定理及通项公式
二项式定理：（a+b）ⁿ=C_n⁰aⁿb⁰+C_n¹a^n-1b¹+C_n²a^n-2b²++C_n^ra^n-rb^r++C_nⁿa⁰bⁿ，通项公式：T_r+1=C_n^ra^n-rb^r
（2）二项式系数与系数的区别：C_n⁰，C_n¹，C_n²，C_nⁿ为二项式系数．