Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若函数有极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当有两个极值点（记为和）时，求证： ．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得x>0，且有，，由此利用导数性质能求出当函数f（x）存在极值时，实数a的取值范围是a>4．
（Ⅱ）x1，x2是x2+（2-a）x+1=0的两个解，从而x1x2=1，欲证原不等式成立，只需证明f（x）-lnx≥f（x）-x+1成立，即证lnx-x+1≤0成立，由此利用构造法和导数性质能证.

试题解析：

（Ⅰ）由已知得 ，且有

在方程中，

①当，即时， 恒成立

此时在上单调递增，∴函数无极值；

②当，即时，方程有两个不相等的实数根：

，

且∵ ，∴

∵当或时， ；当时，

∴函数在上单调递减

在和上单调递增. ∴函数存在极值

综上得：当函数存在极值时，实数的取值范围是

（Ⅱ）∵， 是的两个极值点，故满足方程

即， 是的两个解，∴

∵

而在中，

欲证原不等式成立，只需证明

∵，只需证明成立

即证成立

令，则

当时， ，函数在上单调递增；

当时， ，函数在上单调递减；

因此，故，即成立得证．