Question

如下图，已知△OFQ的面积为S，且·＝1，

(Ⅰ)若S满足条件＜S＜2，求向量与的夹角θ的取值范围；

(Ⅱ)设||＝c(c≥2)，S＝c，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当||取得最小值时，求此椭圆的方程．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)∵·＝1，∴||·||·cosθ＝1． 　　又||·||·sin(180°－θ)＝S， 　　∴tanθ＝2S，S＝．　　3分 　　又＜S＜2，∴＜＜2，即1＜tanθ＜4， 　　∴＜θ＜arctan4．　　5分 　　(Ⅱ)以所在的直线为x轴，以的过O点的垂线为y轴建立直角坐标系(如图)．　　6分 　　∴O(0，0)，F(c，0)，Q(x0，y0)． 　　设椭圆方程为＋＝1． 　　又·＝1，S＝c， 　　∴(c，0)·(x0－c，y0)＝1．① 　　·c·|y0|＝c．②8分 　　由①得c(x0－c)＝1x0＝c＋． 　　由②得|y0|＝． 　　∴||＝＝．　　10分 　　∵c≥2， 　　∴当c＝2时，||min＝＝， 　　此时Q(，±)，F(2，0)．　　12分 　　代入椭圆方程得 　　∴a2＝10，b2＝6．∴椭圆方程为．　　14分