Question

【题目】已知椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F（1，0），以坐标原点O为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x﹣y0的相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）经过点F的直线l1，l2分别交椭圆C于A、B及C、D四点，且l1⊥l2，探究：是否存在常数λ，使恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在常数使得恒成立，详见解析.

【解析】

（1）根据点到直线的距离可以求出短半轴长b，因为焦点已知，所以c＝1，根据a2＝b2+c2可以求得a2，从而确定椭圆的方程；

（2）分两类，①l1，l2中一条斜率不存在，②l1，l2的斜率存在且不为0，分别来探索常数λ的值，其中在情形②中，需要设l1：x＝ty+1（t≠0），，然后联立直线方程和椭圆的方程，消去x得到关于y的方程，再利用弦长公式分别求出|AB|和|CD|，并代入到化简即可得解.

（1）设所求的椭圆方程为，

点O到直线x﹣y0的距离为，

又c＝1，∴a2＝b2+c2＝4，

故所求的椭圆C的方程为.

（2）假设存在常数λ，使恒成立，则，

①当l1，l2中一条斜率不存在时，可知|AB|，|CD|其中一个长为2a＝4，另一个为，

此时，

②当l1，l2的斜率存在且不为0时，不妨设l1：x＝ty+1（t≠0），，

A（ty1+1，y1），B（ty2+1），

联立得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，

∴，，＝36t2﹣4（3t2+4）（﹣9）＝144（t2+1）＞0，

∴，

用代替上式中的t可得，，

∴，

综上所述，存在常数使得恒成立.