Question

如图，DA⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证AE⊥平面BCE，只需证明AE垂直平面BCE内的两条相交直线BC和BF，即可．
（Ⅱ）连接BD交AC于点O，连接OF，由三垂线定理的逆定理，得FO⊥AC，∠BOF是二面角B-AC-E的平面角，然后求二面角B-AC-E的平面角的正切值．

解答：：解（Ⅰ）证明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE．（1分）
∵DA⊥平面ABE，∴DA⊥AE．（2分）
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，∴BC⊥AE．（4分）
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE．（5分）
（Ⅱ）解：连接BD交AC于点O，连接OF．
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BO⊥AC，且BO=

2

．（6分）
∵BF⊥平面ACE，
∴由三垂线定理的逆定理，得FO⊥AC．（7分）
∴∠BOF是二面角B-AC-E的平面角．（8分）
由（Ⅰ）知AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE．
又∵AE=EB，
∴在等腰直角三角形AEB中，AE=BE=

2

．
在直角△BCE中，EC=

BC2+BE2

=

6

，（9分）
∵BF⊥平面ACE，EC?平面ACE，OF?平面ACE
∴BF⊥EC，BF⊥OF．（10分）
∴BF=

BC•BE

EC

=

2 3

3

．（11分）
在直角△BOF中，OF=

BO2-BF2

=

6

3

．（12分）
∴tan∠BOF=

BF

OF

=

2 3 3

6 3

=

2

．
∴二面角B-AC-E的平面角的正切值为

2

．（13分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．