Question

12．奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（2+x）+f（2-x）=0；且f（1）=-9，求f（2012）+f（2013）+f（2014）的值．

Answer 1

分析 将已知等式移项，利用奇函数的定义得到函数的周期；通过给已知等式的x赋值0求出f（2）的值；利用奇函数的定义得到f（0）得到值；利用周期性求出f（2012）+f（2013）+f（2014）的值．

解答 解：∵f（2+x）+f（2-x）=0，
∴f（2+x）=-f（2-x），
∵f（x）为奇函数，
∴f（2+x）=f（x-2）；f（0）=0，
∴f（x）是以T=4为周期的函数，
∵2012=4×503；2013=4×503+1；2014=4×503+2；
∵f（2+x）+f（2-x）=0，
令x=0得f（2）=0，
∴f（2012）+f（2013）+f（2014）=f（0）+f（1）+f（2）=-9．

点评 本题考查通过奇函数的定义及周期函数的定义求函数的周期、考查通过赋值法求特定的函数值、考查利用周期性求函数的值．